Teorema Superposisi

Pada studi dan analisis rangkaian listrik, berbagai teorema dan teknik dikembangkan untuk mempermudah pemahaman dan perhitungan perilaku rangkaian yang kompleks. Salah satu teorema fundamental yang sangat berguna adalah Teorema Superposisi. Teorema ini menawarkan pendekatan sistematis untuk menganalisis rangkaian linear yang mengandung lebih dari satu sumber independen. Alih-alih menganalisis pengaruh semua sumber secara simultan, Teorema Superposisi memungkinkan Anda untuk mempertimbangkan kontribusi setiap sumber secara individual dan menjumlahkan efek-efek tersebut untuk mendapatkan respons total rangkaian. Teorema Superposisi menyatakan bahwa dalam rangkaian linear yang mengandung beberapa sumber independen (tegangan atau arus), respons (berupa tegangan atau arus) pada elemen rangkaian mana pun adalah jumlah aljabar dari respons yang disebabkan oleh masing-masing sumber independen yang bekerja sendiri dan semua sumber independen lainnya dinonaktifkan.

Kondisi Penerapan Teorema Superposisi

Perlu dicatat bahwa Teorema Superposisi hanya berlaku untuk rangkaian linear. Linearitas dalam konteks rangkaian listrik mengacu pada dua properti mendasar, seperti:

1. Homogenitas (Skalabilitas)

Jika input (sumber tegangan atau arus) dalam rangkaian linear diskalakan dengan faktor k, maka output (tegangan atau arus pada elemen lain) juga akan diskalakan dengan faktor yang sama. Secara matematis, jika $V_{in}\rightarrow V_{out}),maka(kV_{in}\rightarrow kV_{out}$ .

2. Aditivitas

Jika rangkaian linear memiliki dua input yang berbeda, $(V_{in1})$ dan $(V_{in2})$ , yang menghasilkan output $V_{out1}$ dan $V_{out2}$ secara respektif, maka input gabungan $V_{in1}+V_{in2}$ akan menghasilkan output $V_{out1}+V_{out2}$ .

Komponen-komponen rangkaian linear meliputi resistor, induktor dan kapasitor dengan nilai yang konstan (tidak bergantung pada tegangan atau arus yang melaluinya). Sumber-sumber independen (tegangan atau arus) juga dianggap linear dalam konteks ini. Komponen-komponen non-linear, seperti dioda, transistor, dan resistor dengan nilai yang bergantung pada suhu atau tegangan, menyebabkan Teorema Superposisi tidak berlaku secara langsung. Pada rangkaian yang mengandung komponen non-linear, pendekatan analisis lain harus digunakan.

Langkah-langkah Menerapkan Teorema Superposisi

1. Identifikasi Sumber-Sumber Independen

Tentukan semua sumber tegangan dan sumber arus independen yang terdapat dalam rangkaian. Sumber independen adalah sumber yang nilainya tidak bergantung pada tegangan atau arus lain dalam rangkaian.

2. Nonaktifkan Semua Sumber Kecuali Satu

Pilih satu sumber independen untuk dipertimbangkan. Nonaktifkan semua sumber independen lainnya.

- Untuk menonaktifkan sumber tegangan independen, ganti sumber tersebut dengan rangkaian terbuka (resistansi tak hingga). Hal ini dikarenakan sumber tegangan selalu mempertahankan tegangan konstan, meskipun ada arus yang mengalir. Jika sumber ini dihilangkan, maka tidak ada lagi tegangan yang diberikan ke rangkaian.

- Untuk menonaktifkan sumber arus independen, ganti sumber tersebut dengan rangkaian tertutup (resistansi nol atau kawat pendek). Hal ini dikarenakan sumber arus selalu mempertahankan arus konstan, meskipun ada tegangan di terminalnya. Jika sumber ini dihilangkan, maka tidak ada lagi arus yang diberikan ke rangkaian.

3. Analisis Rangkaian dengan Satu Sumber Aktif

Analisis rangkaian yang dihasilkan dengan hanya satu sumber aktif. Gunakan teknik analisis rangkaian dasar seperti Hukum Ohm, Hukum Kirchhoff (KVL dan KCL), pembagian tegangan, pembagian arus, atau transformasi sumber untuk menentukan respons (tegangan atau arus) pada elemen yang diinginkan akibat sumber aktif ini. Beri label respons ini dengan jelas, misalnya $V_1$ atau $I_1$ , yang menunjukkan kontribusi dari sumber pertama.

4. Ulangi Langkah 2 dan 3 untuk Setiap Sumber Independen

Ulangi proses penonaktifan semua sumber kecuali satu dan analisis rangkaian untuk setiap sumber independen yang ada dalam rangkaian. Untuk setiap sumber yang diaktifkan, hitung respons (tegangan atau arus) pada elemen yang sama yang dianalisis pada langkah sebelumnya. Beri label respons ini secara berurutan, misalnya $(V_2),(I_2),(V_3),(I_3)$ , dan seterusnya, sesuai dengan sumber independen yang diaktifkan.

5. Jumlahkan Respons Secara Aljabar

Setelah mendapatkan respons dari setiap sumber independen yang bekerja sendiri, jumlahkan respons-respons ini secara aljabar untuk mendapatkan respons total pada elemen yang diinginkan ketika semua sumber aktif secara bersamaan. Perhatikan polaritas tegangan dan arah arus saat melakukan penjumlahan.

- Jika kita mencari tegangan (V) pada suatu elemen, maka $V_{total}=V_1+V_2+V_3+...$

- Jika kita mencari arus (I) melalui suatu elemen, maka $I_{total}=I_1+I_2+I_3+...$

Baca juga : Hukum Kirchoff 1 (KCL)

Contoh Aplikasi Teorema Superposisi

Contoh 1: Rangkaian dengan Dua Sumber Tegangan

Pertimbangkan sebuah rangkaian yang terdiri dari dua sumber tegangan independen, $V_1=12V$ dan $V_2=6V$ , dan tiga resistor, $R_1=2\Omega,R_2=4\Omega$ , dan $R_3=6\Omega$ , yang terhubung seperti pada gambar (deskripsi verbal karena tidak dapat menampilkan gambar): Sumber $V_1$ terhubung seri dengan $R_1$ dan paralel dengan seri dari $R_2$ dan $R_3$ , yang juga terhubung dengan sumber $V_2$ . Kita ingin mencari arus yang mengalir melalui resistor $R_2$ .

Langkah 1: Identifikasi Sumber-Sumber Independen

Sumber-sumber independen adalah $V_1=12V$ dan $V_2=6V$ .

Langkah 2a: Nonaktifkan $V_2$

Dengan menonaktifkan $V_2$ (menggantinya dengan rangkaian terbuka), rangkaian menjadi sumber $V_1$ yang terhubung seri dengan $R_1$ dan paralel dengan $R_2+R_3$ .

Resistansi paralel $R_{p1}=\frac{(R_1)\times(R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)}=\frac{(2)\times(4+6)}{2+(4+6)}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\Omega$ .

Arus total yang keluar dari $V_1$ adalah $I_{total1}=\frac{V_1}{R_{p1}}=\frac{12}{5/3}=\frac{36}{5}A$ .

Arus yang mengalir melalui $R_2$ dan $R_3$ akibat $V_1$ adalah $I_{R2}^{(1)}=I_{total1}\times\frac{R_1}{R_1+R_2+R_3}=\frac{36}{5}\times\frac{2}{2+4+6}=\frac{36}{5}\times\frac{2}{12}=\frac{6}{5}=1.2 A$ . Arah arus ini diasumsikan dari atas ke bawah melalui $R_2$ .

Langkah 2b: Nonaktifkan $V_1$

Dengan menonaktifkan $V_1$ (menggantinya dengan rangkaian terbuka), rangkaian menjadi sumber $V_2$ yang terhubung seri dengan $R_2+R_3$ dan paralel dengan $R_1$ .

Resistansi paralel $R_{p2}=\frac{(R_1)\times(R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)}=\frac{(2)\times(4+6)}{2+(4+6)}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\Omega$ .

Arus total yang keluar dari $V_2$ adalah $I_{total2}=\frac{V_2}{R_{p2}}=\frac{6}{5/3}=\frac{18}{5}A$ .

Arus yang mengalir melalui $R_2$ dan $R_3$ akibat $V_2$ adalah $I_{R2}^{(2)}=I_{total2}\times\frac{R_1}{R_1+R_2+R_3}=\frac{18}{5}\times\frac{2}{12}=\frac{3}{5}=0.6 A$ . Arah arus ini diasumsikan dari bawah ke atas melalui $R_2$ berlawanan dengan $I_{R2}^{(1)}$ .

Langkah 3: Jumlahkan Respons Secara Aljabar

Arus total yang mengalir melalui $R_2$ adalah $I_{R2}=I_{R2}^{(1)}+I_{R2}^{(2)}=1.2 A+(-0.6 A)=0.6 A$ . Arah arus total adalah sama dengan arah $I_{R2}^{(1)}$ , yaitu dari atas ke bawah.

Contoh 2: Rangkaian dengan Sumber Tegangan dan Sumber Arus

Pertimbangkan rangkaian dengan sumber tegangan $V=10V$ , sumber arus $I=2A$ , dan dua resistor $R_1=5\Omega)dan(R_2=3\Omega$ yang terhubung seperti pada gambar (deskripsi verbal): Sumber tegangan $V$ terhubung seri dengan $R_1$ , dan kombinasi ini paralel dengan sumber arus $I$ yang juga paralel dengan $R_2$ . Kita ingin mencari tegangan di terminal $R_2$ .

Langkah 1: Identifikasi Sumber-Sumber Independen

Sumber-sumber independen adalah $V=10V)dan(I=2A$ .

Langkah 2a: Nonaktifkan $I$

Dengan menonaktifkan sumber arus $I$ (menggantinya dengan rangkaian terbuka), rangkaian menjadi sumber tegangan $V$ yang terhubung seri dengan $R_1$ , dan kombinasi ini terhubung ke $R_2$ .

Arus yang mengalir melalui rangkaian adalah $I_a=\frac{V}{R_1+R_2}=\frac{10}{5+3}=\frac{10}{8}=1.25 A$ .

Tegangan di terminal $R_2$ akibat $V$ adalah $V_{R2}^{(1)}=I_a\times R_2=1.25 A\times 3\Omega=3.75 V$ . Polaritas tegangan ini diasumsikan positif di sisi atas $R_2$ .

Langkah 2b: Nonaktifkan $V$

Dengan menonaktifkan sumber tegangan $V$ (menggantinya dengan rangkaian tertutup), rangkaian menjadi sumber arus $I$ yang paralel dengan $R_1$ dan $R_2$ .

Kita dapat menggunakan pembagian arus untuk mencari arus yang mengalir melalui $R_2$ :

$I_{R2}^{(2)}=I\times\frac{R_1}{R_1+R_2}=2A\times\frac{5}{5+3}=2A\times\frac{5}{8}=1.25 A$ .

Tegangan di terminal $R_2$ akibat $I$ adalah $V_{R2}^{(2)}=I_{R2}^{(2)}\times R_2=1.25 A\times 3\Omega=3.75 V$ . Polaritas tegangan ini positif di sisi atas $R_2$ sesuai dengan arah arus $I_{R2}^{(2)}$ .

Langkah 3: Jumlahkan Respons Secara Aljabar

Tegangan total di terminal $R_2$ adalah $V_{R2}=V_{R2}^{(1)}+V_{R2}^{(2)}=3.75 V+3.75 V=7.5 V$ .

Keuntungan Menggunakan Teorema Superposisi

1. Memecah Masalah Kompleks

Teorema ini memungkinkan Anda untuk memecah analisis rangkaian yang memiliki banyak sumber menjadi serangkaian masalah yang lebih sederhana, masing-masing hanya melibatkan satu sumber. Hal ini seringkali mempermudah perhitungan dan pemahaman perilaku rangkaian.

2. Analisis Kontribusi Individu

Anda dapat memahami bagaimana setiap sumber mempengaruhi tegangan dan arus dalam rangkaian dengan menganalisis kontribusi setiap sumber secara terpisah. Informasi ini dapat berguna dalam perancangan dan pemecahan masalah rangkaian.

3. Fleksibilitas dalam Teknik Analisis

Ketika menganalisis rangkaian dengan satu sumber aktif, Anda dapat menggunakan berbagai teknik analisis rangkaian dasar yang sudah dikenal.

Batasan dan Pertimbangan dalam Penggunaan Teorema Superposisi

1. Hanya Berlaku untuk Rangkaian Linear

Teorema Superposisi hanya berlaku untuk rangkaian yang mengandung komponen linear. Rangkaian dengan komponen non-linear tidak dapat dianalisis secara langsung menggunakan teorema ini.

2. Tidak Berlaku untuk Daya

Daya (power) bukanlah kuantitas linear. Oleh karena itu, daya yang diserap atau disalurkan oleh suatu elemen dalam rangkaian dengan beberapa sumber tidak sama dengan jumlah aljabar daya yang disebabkan oleh masing-masing sumber yang bekerja sendiri. Untuk menghitung daya total, Anda harus terlebih dahulu menentukan tegangan atau arus total pada elemen tersebut (menggunakan superposisi jika perlu) dan kemudian menggunakan rumus daya $P=VI=I^2R=V^2/R$ .

3. Dapat Memakan Waktu untuk Banyak Sumber

Jika rangkaian memiliki banyak sumber independen, menerapkan Teorema Superposisi memerlukan analisis rangkaian sebanyak jumlah sumber. Pada kasus seperti itu, metode analisis lain seperti analisis nodal atau analisis mesh mungkin lebih efisien.

4. Penonaktifan Sumber Tergantung

Teorema Superposisi hanya berlaku untuk sumber independen. Sumber-sumber dependen (sumber tegangan atau arus yang nilainya bergantung pada tegangan atau arus lain dalam rangkaian) tidak boleh dinonaktifkan selama proses superposisi. Sumber-sumber dependen harus tetap ada dan beroperasi dalam rangkaian saat Anda mempertimbangkan pengaruh setiap sumber independen.

5. Perhatian Terhadap Polaritas dan Arah

Saat menjumlahkan respons dari setiap sumber, sangat penting untuk memperhatikan polaritas tegangan dan arah arus. Kesalahan dalam menentukan atau menjumlahkan polaritas dan arah dapat menyebabkan hasil yang salah.

Penerapan Lanjutan Teorema Superposisi

Selain analisis rangkaian DC dasar, Teorema Superposisi juga dapat diterapkan dalam analisis rangkaian AC linear, termasuk rangkaian dengan impedansi kompleks dan sumber-sumber AC dengan frekuensi yang sama. Dalam kasus ini, respons yang dihasilkan oleh setiap sumber akan berupa fasor (tegangan atau arus), dan penjumlahan dilakukan secara aljabar dalam domain fasor.

Teorema Superposisi juga menjadi dasar untuk pemahaman konsep-konsep lain dalam analisis rangkaian dan teori sistem linear, seperti respons impuls dan fungsi transfer.

Baca juga : Integrator dengan Op-Amp

Siap Untuk Membuat Proyek Impianmu Menjadi Kenyataan?

Klik di sini untuk chat langsung via WhatsApp dan dapatkan dukungan langsung dari tim ahli kami!